Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri (Değişme, Birleşme, Dağılma Özelliği, İşlem Önceliği)

  • BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
  • √ Değişme Özelliği
  • √ Birleşme Özelliği
  • √ Dağılma Özelliği
  • √ O ve 1'in Etkisi
  • √ İşlem Önceliği
  • BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
  • √ Doğal sayılar kümesindeki toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini işlemlerde uygular.
 
TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
 
TOPLAMA İŞLEMİNİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
 
Doğal sayılarda iki veya daha fazla sayı ile toplama işlemi yaparken toplanan sayıların yerleri değiştirildiğinde işlemin sonucu yani değişmez. Toplama işleminin bu özelliğine Değişme Özelliği denir. Örneğin:

3 + 5 = 8
5 + 3 = 8
 
TOPLAMA İŞLEMİNİN BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
 
Üç veya daha fazla doğal sayı ile toplama işlemi yaparken, toplanan sayılardan herhangi iki tanesini parantezleyerek önce işleme almak sonucu değiştirmez. Toplama işleminin bu özelliğine Birleşme Özelliği denir. Örneğin:
 
( 1 + 2 ) + 3
3 + 3 = 6
 
1 + ( 2 + 3 )
1 + 5 = 6
 

 

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

ÇARPMA İŞLEMİNİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ 
 
Doğal sayılarda iki veya daha fazla sayı ile çarpma işlemi yaparken çarpılan sayıların yerleri değiştirildiğinde işlemin sonucu yani değişmez. Çarpma işleminin bu özelliğine Değişme Özelliği denir. Örneğin:

5 x 8 = 40
8 x 5 = 40
 
ÇARPMA İŞLEMİNİN BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
 
Üç veya daha fazla doğal sayı ile çarpma işlemi yaparken, çarpılan sayılardan herhangi iki tanesini parantezleyerek önce işleme almak sonucu değiştirmez. Çarpma işleminin bu özelliğine Birleşme Özelliği denir. Örneğin:
 
( 2 x 5 ) x 4
10 x 4 = 40

2 x ( 5 x 4 )
2 x 20 = 40

 
ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ
 
Bir doğal sayıyı toplam biçimindeki doğal sayılarla çarparken, bu doğal sayı ile toplam biçimindeki her terim ile ayrı ayrı çarpılır ve daha sonra bu çarpımlar toplanır. Buna çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği denir. Örneğin:
 
3 x ( 4 + 5 ) işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım. Çarpım durumundaki 3'ü önce 4 ile sonra 5 ile çarparız ve daha sonra bu sonuçları toplarız.
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 ) = 12 + 15 = 27
 
Örnek: 18 x 101 işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım.
 
18 x 101 = 18 x ( 100 + 1 ) = ( 18 x 100 ) + ( 18 x 1 ) = 1800 + 18 = 1818
 
Not: Aynı özellik çıkarma işleminde de geçerlidir. Buna çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği denir. Örneğin:
 
5 x ( 10 - 2 ) işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım. Çarpım durumundaki 5'i önce 10 ile sonra 2 ile çarparız ve daha sonra  bu sonuçları çıkarırız.
5 x ( 10 - 2 ) = ( 5 x 10 ) - ( 5 x 2 ) = 50 - 10 = 40
 
Örnek: 23 x 98 işlemini dağılma özelliği kullanarak yapalım.

23 x 98 = 23 x ( 100 - 2 ) = ( 23 x 100 ) - ( 23 x 2 ) = 2300 - 46 = 2254

 

NOT: Dağılma özelliği zihinden çarpma işlem yaparken çok kolaylık sağlar.
  

TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMİNDE 0 VE 1'İN ETKİSİ

Herhangi bir doğal sayının 0 (sıfır) ile toplamı o doğal sayının kendisine eşittir. 0 (sıfır) toplama işleminin etkisiz elemanıdır (birim eleman). Örneğin:

3 + 0 = 3
45 + 0 = 45

Herhangi bir doğal sayının 1 (bir) ile çarpımı o doğal sayının kendisine eşittir. 1 (bir) çarpma işleminin etkisiz elemanıdır (birim eleman). Örneğin:

4 x 1 = 4
25 x 1 = 25

Her doğal sayının 0 (sıfır) ile çarpımı sıfırdır. 0 (sıfır) çarpma işleminin yutan elemanıdır. Örneğin:

8 x 0 = 0
52 x 0 = 0
 

İŞLEM ÖNCELİĞİ

İşlem yaparken hangi işlemi önce yapacağımızı aşağıdaki sıraya göre belirleriz:

  • Önce parantez içindeki işlemler yapılır
  • Daha sonra ÇARPMA veya BÖLME işlemi yapılır
  • Son olarak TOPLAMA veya ÇIKARMA işlemi yapılır
  • Birbirine göre önceliği olmayan işlemlerde ( Çarpma ve bölmenin, toplama ve çıkarmanın birbirine göre üstünlüğü yoktur) işlem sırası soldan sağa doğru takip edilir.

Örnek: 2 + 7 x 2 - ( 5 - 3 ) x 2 işlemini yapalım.

Önce parantez içi yapılır. Daha sonra çarpmalar En son toplama ve çıkarma.
2 + 7 x 2 - ( 5 - 3 ) x 2
= 2 + 7 x 2 - ( 2 ) x 2
= 2 + 14 - 4
= 16 - 4
= 12

Yazar: www.matematikciler.org

Tags: 6. Sınıf