' Asal sayılar', yalnız ve yalnız iki böleni olan doğal sayılardır. Kendisinden ve 1 sayısından başka böleni olmayan, 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de tanımlanmaktadır.(kendisinden küçük asal sayıların hiçbirine tam bölünmeyen sayılardır.) Yüzden küçük asal sayılar

Öklid (Euklides)'ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann Hipotezidir. Sayılar teorisi'nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır.

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi halen kanıtlanamamıştır: Her çift sayı iki asal sayının toplamı mıdır? Örneğin:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5 ...

Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara ikiz asal sayılar denir. (örneğin 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13 .. ikiz asallardır.) (2, 3) çifti hariç iki asal sayının arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.

İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru , sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanısı ( varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır.

Riemann hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ifade edilmiş fakat günümüze kadar çözülememiş problemlerden biridir.

Bazı pozitif tamsayıların kendilerinden küçük ve 1'den büyük tamsayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, ...) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı bariz bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Riemann, asal sayıların sıklığının;

s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm s karmaşık sayıları için

Sayılar teorisindeki en eski Matematik'te çözümsüz problemlerden biridir.

Sanı: Goldbach'ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler'e 7 Haziran 1742'de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor:

...En azından 2'den büyük her sayı iki asal sayının toplamıdır...

Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.)

1 - 8000 arasındaki asal sayılar

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

Tam olarak 12,978,189 basamaklı olan bu yeni ve en büyük Mersenne sayısını bulan Los Angeles California Üniversitesi (UCLA) matematik bölümünden Edson Smith ve ekibine bu buluş karşılığında, internette bağımsızlığı savunan bir sivil özgürlükler örgütü olan Elektronik Sınırlar Vakfı (EFF) tarafından 100 bin dolar (yaklaşık 150 bin TL) ödül verilecek. EFF, bundan sonraki 100 milyon basamaklı ilk asal sayı keşfi için 150 bin dolar (yaklaşık 190 bin YTL), bir milyar basamaklı ilk asal sayı keşfi için ise 250 bin dolarlık (yaklaşık 350 bin TL) bir ödül vereceğini açıkladı.

En Büyük Asal Sayı Kaçtır?

Şimdiye kadar bulunan en büyük asal sayı olan bu yeni sayının el ile yazılması yaklaşık iki buçuk ay sürüyor. Adını 17. yüzyıl Fansız âlimi Marin Mersenne`den alan Mersenne Sayıları ya da asal sayılar, matematiksel olarak 2 sayısının herhangi bir kuvetinden 1 eksik, yani (2n-1) şeklinde formüle ediliyor. Bu durumda yeni sayının matematiksel karşılığı

2^43,112,609 -1 oluyor.

Kriptoloji, şifre bilimidir. Çeşitli iletilerin, yazıların belli bir sisteme göre şifrelenmesi, bu mesajların güvenlikli bir ortamda alıcıya iletilmesi ve iletilmiş mesajın deşifresiyle uğraşır.

Asal sayılar özellikle internet üzerinden yapılan işlemlerin güvenli bir şekilde yürümesine olanak tanıyan şifreleme tekniklerinin geliştirilmesi için kullanılıyor. Her ne kadar günümüzde bankacılıkta kullanılan şifreleme teknikleri için UCLA`lı matematikçilerin bulduğu kadar çok basamaklı büyük sayılara ihtiyaç duyulmasa da, askerî bilgiler gibi önemli şifrelemeler gerektiren verilerin korunmasında kullanılacak asal sayıların olabildiğince fazla basamaklı olması gerekiyor.

RSA Şifreleme Algoritması

RSA algoritması, Amerika’ da 1983 yılında MIT’ten patent almıştır. Bu patent 21 Eylül 2000 de son bulmuştur. Ancak patenti daha önce bir uygulamaya ait olduğu için bir başka ülkede patent alınamaz. Bir genel anahtarlı şifreleme tekniği olan RSA, çok büyük tamsayıları oluşturma ve bu sayıları işleminin zorluğu üzerine düşünülmüştür. Anahtar oluşturma işlemi için asal sayılar kullanılarak daha güvenli bir yapı oluşturulmuştur. Anahtar oluşturma algoritması şu şekildedir:

Kendisinden ve birden başka hiçbir tam sayıya bölünemeyen sayılara asal sayı deriz. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 asal sayılardır. Asal sayıların listesini çıkarmaya başladığınız zaman listedeki sayıların arasının genellikle açılmaya başladığını görürsünüz. Örneğin 1 ile 100 arasında yirmibeş asal sayı varken 100 ile 200 arasında yirmibir asal vardır. Daha büyük aralıklara bakarsak örneğin 1 ile 1 milyon arasında 78498 asal sayı varken 10 milyon ile 11 milyon arasında 61938 asal vardır. Buna bakarak asalların azaldığını ve giderek yok olacağını dü_şünebilirsiniz. Bu durumda doğal olarak en büyük asal sayı hangisidir, diye bir soru sorabilirsiniz. İşte 2000 yıl önce Öklid bu soruya çok şık bir cevap vermiştir. Öklid en büyük asal diye bir sayının olmadığını, asal sayılar listesinin sonsuz olduğunu iddia etmiştir. Bir an için Öklid asal sayılar listesinin sonlu olduğunu kabul eder.

İki sayı arasındaki asal sayıları bulmak için oldukça kullanışlı,eğlenceli ve basit bir yöntem.

1'e asal sayı olmadığı için çarpı işareti koyun. 2'yi bir asal sayı olduğu için daire içine alın, daha sonra 2'nin tüm katlarına çarpı işareti koyun. 3'ü de daire içine alın ve katlarına da çarpı işareti koyun. Ondan büyük olan 5'e daire ve katlarına da çarpı işareti koyun. 100'e kadar olan tüm sayılara bu işlemi uygularsanız, 100'e kadar olan asal sayıları bulursunuz. Bulduğunuz asallarla 1000'e kadar olanları, onlarla 1.000.000'a kadar olanları da bulursunuz ve bu sonsuza kadar gider. Bu yönteme Eratosthenes'in Kalburu denir.

KULLANIMINI ANLATAN ANİMASYON: